коэффициент детерминации для чего нужен
Коэффициент детерминации
Материал из MachineLearning.
Содержание
Определение и формула
Истинный коэффициент детерминации модели зависимости случайной величины от признаков определяется следующим образом:
где — условная (по признакам ) дисперсия зависимой переменной (дисперсия случайной ошибки модели).
В данном определении используются истинные параметры, характеризующие распределение случайных величин. Если использовать выборочную оценку значений соответствующих дисперсий, то получим формулу для выборочного коэффициента детерминации (который обычно и подразумевается под коэффициентом детерминации):
— сумма квадратов регрессионных остатков, — общая дисперсия, — соответственно, фактические и расчетные значения объясняемой переменной, — выборочное вреднее.
Необходимо подчеркнуть, что эта формула справедлива только для модели с константой, в общем случае необходимо использовать предыдущую формулу.
Интерпретация
Недостатки и альтернативные показатели
Основная проблема применения (выборочного) заключается в том, что его значение увеличивается (не уменьшается) от добавления в модель новых переменных, даже если эти переменные никакого отношения к объясняемой переменной не имеют. Поэтому сравнение моделей с разным количеством признаков с помощью коэффициента детерминации, вообще говоря, некорректно. Для этих целей можно использовать альтернативные показатели.
Скорректированный (adjusted)
Для того, чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом признаков так, чтобы число регрессоров (признаков) не влияло на статистику обычно используется скорректированный коэффициент детерминации, в котором используются несмещённые оценки дисперсий:
который даёт штраф за дополнительно включённые признаки, где — количество наблюдений, а — количество параметров.
Данный показатель всегда меньше единицы, но теоретически может быть и меньше нуля (только при очень маленьком значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве признаков), поэтому интерпретировать его как долю объясняемой дисперсии уже нельзя. Тем не менее, применение показателя в сравнении вполне обоснованно.
Обобщённый (extended)
Для случая регрессии без свободного члена:
При некоторой модификации также подходит для сравнения между собой регрессионных моделей, построенных с помощью: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК), обобщённо-условного метода наименьших квадратов (ОУМНК).
Коэффициент детерминации
Опубликовано 28.05.2021 · Обновлено 28.05.2021
Что такое коэффициент детерминации?
Коэффициент детерминации – это статистическое измерение, которое исследует, как различия в одной переменной могут быть объяснены разницей во второй переменной при прогнозировании исхода данного события. Другими словами, этот коэффициент, более известный как R-квадрат (или R 2 ), оценивает, насколько сильна линейная связь между двумя переменными, и на него сильно полагаются исследователи при проведении анализа тенденций. Приведем пример его применения: этот коэффициент может включать в себя следующий вопрос: если женщина забеременеет в определенный день, какова вероятность того, что она родит ребенка в определенный день в будущем? В этом сценарии этот показатель предназначен для расчета корреляции между двумя взаимосвязанными событиями: зачатием и рождением.
Ключевые выводы
Понимание коэффициента детерминации
Коэффициент детерминации – это измерение, используемое для объяснения того, насколько изменчивость одного фактора может быть вызвана его взаимосвязью с другим связанным фактором. Эта корреляция, известная как « степень соответствия », представлена как значение от 0,0 до 1,0. Значение 1,0 указывает на идеальное соответствие и, таким образом, является высоконадежной моделью для будущих прогнозов, а значение 0,0 указывает на то, что расчет вообще не может точно смоделировать данные. Но значение 0,20, например, предполагает, что 20% зависимой переменной предсказывается независимой переменной, тогда как значение 0,50 предполагает, что 50% зависимой переменной предсказывается независимой переменной, и так далее.
График коэффициента детерминации
На графике степень соответствия измеряет расстояние между подогнанной линией и всеми точками данных, которые разбросаны по диаграмме. Плотный набор данных будет иметь линию регрессии, которая близка к точкам и будет иметь высокий уровень соответствия, что означает, что расстояние между линией и данными невелико. Хотя хорошее соответствие имеет R 2, близкое к 1,0, само по себе это число не может определить, смещены ли точки данных или прогнозы. Он также не сообщает аналитикам, является ли значение коэффициента детерминации изначально хорошим или плохим. Пользователь по своему усмотрению может оценить значение этой корреляции и то, как ее можно применить в контексте анализа будущих тенденций.
Конспект курса «Основы статистики»
1. Введение
Способы формирования репрезентативной выборки:
Простая случайная выборка (simple random sample)
Стратифицированная выборка (stratified sample)
Групповая выборка (cluster sample)
Типы переменных:
непрерывные (рост в мм)
дискретные (количество публикаций у учёного)
Ранговые (успеваемость студентов)
Гистограмма частот:
Позволяет сделать первое впечатление о форме распределения некоторого количественного признака.
Описательные статистики:
Меры центральной тенденции (узкий диапазон, высокие значения признака):
( 
используется для среднего значения из выборки, а для генеральной совокупности латинская буква 
)
Свойства среднего:
Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.
Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.
Если для каждого значения выборки, рассчитать такой показатель как его отклонение от среднего арифметического, то сумма этих отклонений будет равняться нулю.
Меры изменчивости (широкий диапазон, вариативность признака):
При добавлении сильно отличающегося значения данные меняются сильно и могут быть некорректные.
Дисперсия генеральной совокупности:
(среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности)
(среднеквадратическое отклонение выборки)
Свойства дисперсии:
Квартили распределения и график box-plot
Нормальное распределение
Отклонения наблюдений от среднего подчиняются определённому вероятностному закону.
Стандартизация
Правило «двух» и «трёх» сигм
Центральная предельная теорема
Есть признак, распределенный КАК УГОДНО* с некоторым средним и некоторым стандартным отклонением. Тогда, если выбирать из этой совокупности выборки объема n, то их средние тоже будут распределены нормально со средним равным среднему признака в ГС и стандартным отклонением 
.
30″ alt=»SE = \frac
Доверительные интервалы для среднего
Доверительный интервал является показателем точности измерений. Это также показатель того, насколько стабильна полученная величина, то есть насколько близкую величину (к первоначальной величине) вы получите при повторении измерений (эксперимента).
Идея статистического вывода
2. Сравнение средних
T-распределение
Если число наблюдений невелико и \sigma неизвестно (почти всегда), используется распределение Стьюдента (t-distribution).
Унимодально и симметрично, но: наблюдения с большей вероятностью попадают за пределы 
от 
«Форма» распределения определяется числом степеней свободы (
).
С увеличением числа 
распределение стремится к нормальному.
t-распределение используется не потому что у нас маленькие выборки, а потому что мы не знаем стандартное отклонение в генеральной совокупности.
Сравнение двух средних; t-критерий Стьюдента
Критерий, который позволяет сравнивать средние значения двух выборок между собой, называется t-критерий Стьюдента.
Условия для корректности использования t-критерия Стьюдента:
Две независимые группы
Формула стандартной ошибки среднего:
Формула числа степеней свободы:
Формула t-критерия Стьюдента:
Переход к p-критерию:
Проверка распределения на нормальность, QQ-Plot
Однофакторный дисперсионный анализ
Часто в исследованиях необходимо сравнить несколько групп между собой. В таком случае применятся однофакторный дисперсионный анализ.
Группы:
Нулевая гипотеза:
Альтернативная гипотеза:
Среднее значение всех наблюдений:
Общая сумма квадратов (Total sum of sqares):
Показатель, который характеризует насколько высока изменчивость данных, без учёта разделения их на группы.
Число степеней свободы:
— Межгрупповая сумма квадратов (Sum of sqares between groups)
— Внутригрупповая сумма квадратов (Sum of sqares within groups)
F-значение (основной статистический показатель дисперсионного анализа):
При делении значения межгрупповой суммы квадратов на число степеней свободы, полученный показатель усредняется.
Поэтому формула F-значения часто записывается:
Множественные сравнения в ANOVA
Проблема множественных сравнений:
Поправка Бонферрони
Самый простой (и консервативный) метод: P-значения умножаются на число выполненных сравнений.
Критерий Тьюки
Критерий Тьюки используется для проверки нулевой гипотезы 
против альтернативной гипотезы 
, где индексы 
и 
обозначают любые две сравниваемые группы.
Указанные сравнения выполняются при помощи критерия Тьюки, который представляет собой модифицированный критерий Стьюдента:
где 
— рассчитываемая в ходе дисперсионного анализа внутригрупповая дисперсия.
Многофакторный ANOVA
При применении двухфакторного дисперсионного анализа исследователь проверяет влияние двух независимых переменных (факторов) на зависимую переменную. Может быть изучен также эффект взаимодействия двух переменных.
Исследуемые группы называют эффектами обработки. Схема двухфакторного дисперсионного анализа имеет несколько нулевых гипотез: одна для каждой независимой переменной и одна для взаимодействия.
Условия применения двухмерного дисперсионного анализа:
Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены.
Выборки должны быть независимыми.
Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными.
Группы должны иметь одинаковый объем выборки.
АБ тесты и статистика
3. Корреляция и регрессия
Понятие корреляции
Коэффициент корреляции – это статистическая мера, которая вычисляет силу связи между относительными движениями двух переменных.
Принимает значения [-1, 1]
— показатель силы и направления взаимосвязи двух количественных переменных.
Знак коэффициента корреляции показывает направление взаимосвязи.
Коэффициент детерминации
— показывает, в какой степени дисперсия одной переменной обусловлена влиянием другой переменной.
Равен квадрату коэффициента корреляции.
Принимает значения [0, 1]
Условия применения коэффициента корреляции
Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие условия:
Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.
Распределения переменных 
и 
должны быть близки к нормальному.
Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных 
и 
должно быть одинаковым.
Коэффициент корреляции Спирмена
Регрессия с одной независимой переменной
Уравнение прямой:
— (intersept) отвечает за то, где прямая пересекает ось y.
— (slope) отвечает за направление и угол наклона, образованный с осью x.
Метод наименьших квадратов
Формула нахождения остатка:
— остаток
— реальное значение
— значение, которое предсказывает регрессионная прямая
Сумма квадратов всех остатков:
Параметры линейной регрессии:
Гипотеза о значимости взаимосвязи и коэффициент детерминации
Коэффициенты линейной регрессии
Коэффициенты регрессии (β) — это коэффициенты, которые рассчитываются в результате выполнения регрессионного анализа. Вычисляются величины для каждой независимой переменной, которые представляют силу и тип взаимосвязи независимой переменной по отношению к зависимой.
Коэффициент детерминации
— доля дисперсии зависимой переменной (Y), объясняем регрессионной моделью.
— сумма квадратов остатков
— сумма квадратов общая
Условия применения линейной регрессии с одним предиктором
Линейная взаимосвязь 
и 
Нормальное распределение остатков
Регрессионный анализ с несколькими независимыми переменными
Множественная регрессия (Multiple Regression)
Множественная регрессия позволяет исследовать влияние сразу нескольких независимых переменных на одну зависимую.
Требования к данным
линейная зависимость переменных
нормальное распределение остатков
проверка на мультиколлинеарность
нормальное распределение переменных (желательно)