корреляция равна 1 что значит

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ – раздел математической статистики, исследующий зависимости между двумя или более случайными величинами. Термин «Correlation» означает взаимосвязь, взаимоотношение.

Функциональная зависимость и корреляция

Еще Гиппократ обратил внимание на то, что между телосложением и темпераментом людей, между строением их тела и предрасположенностью к заболеваниям существует определенная взаимосвязь.

В области физической культуры и спорта можно привести много примеров такой взаимосвязи. Например, от уровня силы во многом зависит результат, показанный спортсменом в таких видах спорта, как тяжелая атлетика, пауэрлифтинг, гиревой спорт, метание диска и толкание ядра и т.д. Результат в беге на 100 м во многом зависит от процента содержания в мышцах спортсменов быстрых мышечных волокон (II типа). Доказано, что у выдающихся спринтеров этот показатель превышает 80%. Чтобы определить, насколько сильна взаимосвязь между переменными (признаками) используется корреляционный анализ.

Две случайные величины X и Y могут быть:

В качестве меры связи между случайными величинами используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции для генеральной совокупности обозначается ρ. Однако, как правило, он неизвестен. Поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим выборку объема n, полученную при совместном измерении двух переменных (признаков) X и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Его принято обозначать символом r. Наиболее часто в качестве оценок генерального коэффициента корреляции используется коэффициент корреляции Пирсона (r) и коэффициент корреляции Спирмена (r_s).

Коэффициент корреляции Пирсона ( r )

Чтобы правильно применять корреляционный анализ в научных исследованиях, нужно учитывать условия применения этого метода.

Условия, при которых возможен расчет коэффициента корреляции Пирсона:

Коэффициент корреляции Спирмена ( r _S)

При расчете коэффициента корреляции Спирмена требования к исходным данным менее строгие, а именно:

Свойства оценок коэффициентов корреляции

В итоговой таблице необходимо указать объем выборки, чтобы читающий мог оценить значимость (достоверность) вычисленных коэффициентов корреляции. Иногда в публикациях приводятся только значимые коэффициенты корреляции, а вместо незначимых ставится прочерк. В таблице 2 авторы указали, что объем выборки равен n = 32. Критическое значение коэффициента корреляции при n = 32 и a = 0,05 составляет r_{0,05 = 0,349 (В.С.Иванов, 1990). Следовательно, все коэффициенты корреляции достоверны.}

Таблица 2 — Значения коэффициентов корреляции между результатами в скоростно-силовых тестах и результатом в толкании ядра с разгоном n=32, спортивный результат группы варьировал от 12,00 м до 20,50. Критическое значение коэффициента корреляции при n = 32 и a = 0,05 составляет r_0,05 = 0,349 (по: Я.Е.Ланка, Ан.А.Шалманов, 1982).

Источник

Может ли коэффициент корреляции быть больше 1?

Следовательно, что означает R в корреляции?

Кроме того, могут ли коэффициенты регрессии быть больше 1?

Популярные ответы (1)

Веса регрессии не может быть больше одного.

Во-вторых, на что указывает корреляция 1? Корреляция –1 указывает на то, что идеальная отрицательная корреляция, что означает, что по мере того, как одна переменная растет, другая уменьшается. Корреляция +1 указывает на идеальную положительную корреляцию, что означает, что обе переменные вместе движутся в одном направлении.

Почему корреляция не может быть больше 1?

Это неравенство можно сформулировать следующим образом:… Исходная формула r теперь соответствует формуле Коши-Шварца. неравенство! Таким образом, знаменатель исходной формулы r никогда не может быть больше знаменателя. Другими словами, полное отношение никогда не может превышать абсолютное значение 1.

Корреляция сильная или слабая?

Описание коэффициентов корреляции

Что означает значение r2, равное 0.9?

Что означает значение R-Squared, равное 0.9? По сути, значение R-Squared, равное 0.9, указывает на то, что 90% дисперсии исследуемой зависимой переменной объясняется дисперсией независимой переменной..

Как вы интерпретируете слабую корреляцию?

Каков диапазон коэффициентов регрессии?

Что такое высокий коэффициент регрессии?

Знак коэффициента регрессии указывает на наличие положительной или отрицательной корреляции между каждой независимой переменной и зависимой переменной. Положительный коэффициент указывает на то, что как значение независимой переменной увеличиваетсясреднее значение зависимой переменной также имеет тенденцию к увеличению.

Как узнать, значим ли коэффициент регрессии?

Все ответы (16) Значимость коэффициента регрессии в регрессионной модели равна определяется путем деления оценочного коэффициента на стандартное отклонение этой оценки.

Как вы интерпретируете корреляционную таблицу Пирсона?

Что такое идеальная положительная корреляция?

Совершенно положительная корреляция означает, что 100% времени, рассматриваемые переменные перемещаются вместе на один и тот же процент и направление. Можно увидеть положительную корреляцию между спросом на продукт и связанной с ним ценой. … С ростом цен на топливо растут и цены на авиабилеты.

Как вы интерпретируете r Пирсона?

Может ли ковариация быть больше 1?

ковариационная похожа на корреляцию между двумя переменными, однако они различаются следующим образом: Коэффициенты корреляции стандартизированы. Таким образом, идеальная линейная зависимость дает коэффициент 1. … Следовательно ковариация может варьируются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности.

Какая корреляция самая сильная?

Корреляция 0.5 сильная?

Коэффициенты корреляции, величина которых составляет от 0.5 до 0.7, указывают на переменные, которые можно считать умеренно коррелированными. Коэффициенты корреляции, величина которых составляет от 0.3 до 0.5, указывают на переменные, которые имеют низкая корреляция.

Что означает значение R2, равное 0.5?

Любой R 2 значение меньше 1.0 указывает на то, что по крайней мере некоторая изменчивость данных не может быть учтена моделью (например, R 2 0.5 указывает что 50% вариабельности исходных данных не могут быть объяснены моделью).

Какое хорошее значение r 2?

В то время как для поисковых исследований с использованием данных поперечного сечения, значения 0.10 являются типичными. В научных исследованиях, посвященных вопросам маркетинга, значения R2 0.75, 0.50 или 0.25 можно, в качестве приблизительного практического правила, соответственно охарактеризовать как существенные, умеренные или слабые.

Что означает значение R2, равное 0.3?

Что такое пример слабой корреляции?

В технологических областях корреляция между переменными должна быть намного выше, чтобы ее можно было даже считать «слабой». Например, если компания создает беспилотный автомобиль, и корреляция между решениями поворота автомобиля и вероятностью избежать крушения составляет r = 0.95, это можно считать «слабой» корреляцией…

Коэффициент корреляции = 0.8: довольно сильная положительная связь. Коэффициент корреляции = 0.6: Умеренно позитивные отношения.

Каковы пределы двух коэффициентов регрессии?

Нет предела. Должен быть положительным. Один положительный, а другой отрицательный. Произведение коэффициента регрессии должно быть численно меньше единицы.

Какое идеальное значение коэффициента регрессии?

Эта корреляция, известная как «степень соответствия», представлена ​​как значение между 0.0 и 1.0. Значение 1.0 указывает на идеальное соответствие и, таким образом, является высоконадежной моделью для будущих прогнозов, а значение 0.0 указывает на то, что расчет вообще не может точно смоделировать данные.

Источник

Что означает понятие корреляции простыми словами?

Все в мире взаимосвязано. Каждый человек на уровне интуиции пытается найти взаимосвязи между явлениями, чтобы иметь возможность влиять на них и управлять ними. Понятие, которое отражает эту взаимосвязь, называется корреляцией. Что она означает простыми словами?

Понятие корреляции

Корреляция (от латинского «correlatio» – соотношение, взаимосвязь) – математический термин, который означает меру статистической вероятностной зависимости между случайными величинами (переменными).

Пример: возьмем два вида взаимосвязи:

Примерами взаимосвязи между природными явлениями являются: цепочка питания в природе, организм человека, который состоит из систем органов, взаимосвязанных между собой и функционирующих как единое целое.

Каждый день мы сталкиваемся с корреляционной зависимостью в повседневной жизни: между погодой и хорошим настроением, правильной формулировкой целей и их достижением, положительным настроем и везением, ощущением счастья и финансовым благополучием. Но мы ищем связи, опираясь не на математические расчеты, а на мифы, интуицию, суеверия, досужие домыслы. Эти явления очень сложно перевести на математический язык, выразить в цифрах, измерить. Другое дело, когда мы анализируем явления, которые можно просчитать, представить в виде цифр. В таком случае мы можем определить корреляцию с помощью коэффициента корреляции (r), отражающего силу, степень, тесноту и направление корреляционной связи между случайными переменными.

Сильная корреляция между случайными величинами – свидетельство наличия некоторой статистической связи конкретно между этими явлениями, но эта связь не может переноситься на эти же явления, но для другой ситуации. Часто исследователи, получив в расчетах значительную корреляцию между двумя переменными, основываясь на простоте корреляционного анализа, делают ложные интуитивные предположения о существовании причинно-следственных взаимосвязей между признаками, забывая о том, что коэффициент корреляции носит вероятностный характер.

Пример: количество травмированных во время гололеда и число ДТП среди автотранспорта. Эти величины будут коррелировать между собой, хотя они абсолютно не взаимосвязаны между собой, а имеют только связь с общей причиной этих случайных событий – гололедицей. Если же анализ не выявил корреляционной взаимосвязи между явлениями, это еще не является свидетельством отсутствия зависимости между ними, которая может быть сложной нелинейной, не выявляющейся с помощью корреляционных расчетов.

Первым, кто ввел в научный оборот понятие корреляции, был французский палеонтолог Жорж Кювье. Он в XVIII веке вывел закон корреляции частей и органов живых организмов, благодаря которому появилась возможность восстанавливать по найденным частям тела (останкам) облик всего ископаемого существа, животного. В статистике термин корреляции впервые применил в 1886 году английский ученый Френсис Гальтон. Но он не смог вывести точную формулу для расчета коэффициента корреляции, но это сделал его студент – известнейший математик и биолог Карл Пирсон.

Виды корреляции

По значимости – высокозначимая, значимая и незначимая.

Источник

19. Линейный коэффициент корреляции

Эта тема планировалась более 10 лет назад и вот, наконец, я здесь…. И вы здесь! И это замечательно! Даже не то слово. Это корреляционно.

О корреляции речь зашла в статьях в статьях об аналитической и комбинационной группировке, в результате чего перед нами нарисовались некоторые эмпирические показателями корреляции (прочитайте хотя бы «по диагонали»!). И сейчас на очереди линейный коэффициент корреляции, популярный настолько, что по умолчанию под коэффициентом корреляции понимают именно его. …Да, всё верно – существует довольно много разных коэффициентов корреляции. Однако всему своё время.

Материал данной темы состоит из двух уровней:

– начального, для всех – вплоть до студенток психологических и социологических факультетов, школьников, бабушек, дедушек, etc и

– продвинутого, где я разберу более редкие задачи, а некоторые даже не буду разбирать 🙂

В результате вы научитесь БЫСТРО решать типовые задачи (видео прилагается) и для самых ленивых есть калькуляторы. И пока не запамятовал, хочу порекомендовать корреляционно-регрессионный анализ для ваших научных работ и практических исследований – наряду со статистическими гипотезами, это самая настоящая находка в плане новизны и творческих изысканий.

Оглавление:

то было для «чайников», для начала достаточно…

…и в этот момент я благоговейно улыбаюсь – как здорово, что все мы здесь сегодня собрались:

Имеются выборочные данные по студентам: – количество прогулов за некоторый период времени и – суммарная успеваемость за этот период:

И сразу обращаю внимание, что в условии приведены несгруппированные данные. Помимо этого варианта, есть задачи, где изначально дана комбинационная таблица, и их мы тоже разберём. Сначала одно, затем другое.

1) высказать предположение о наличии и направлении корреляционной зависимости признака-результата от признака-фактора и построить диаграмму рассеяния;

2) анализируя диаграмму рассеяния, сделать вывод о форме зависимости;

3) найти уравнение линейной регрессии на , выполнить чертёж;

4) вычислить линейный коэффициент корреляции, сделать вывод;

5) вычислить коэффициент детерминации, сделать вывод,

и позже будет ещё 5-6 пунктов для продвинутых читателей (см. конец урока).

Решение:

1) Прежде всего, повторим, что такое корреляционная зависимость. Очевидно, что чем больше студент прогуливает, тем более вероятно, что у него плохая успеваемость. Но всегда ли это так? Нет, не всегда. Успеваемость зависит от многих факторов. Один студент может посещать все пары, но все равно учиться посредственно, а другой – учиться неплохо даже при достаточно большом количестве прогулов. Однако общая тенденция состоит в том, что с увеличением количества прогулов средняя успеваемость студентов будет падать. Такая нежёсткая зависимость и называется корреляционной.

По своему направлению зависимость бывает прямой («чем больше, тем больше») и обратной («чем больше, тем меньше»). В данной задаче мы высказали предположение о наличии обратной корреляционной зависимости – успеваемости студентов от – количества их прогулов. И что немаловажно, обосновали причинно-следственную связь (читать всем. ) между признаками.

Проверить выдвинутое предположение проще всего графически, и в этом нам поможет:

диаграмма рассеяния

– это множество точек в декартовой системе координат, абсциссы которых соответствуют значениям признака-фактора , а ординаты – соответствующим значениям признака-результата . Минимальное количество точек должно равняться пяти-шести, в противном случае рассматриваемая задача превращается в профанацию. И мы «вписываемся в рамки» – объём выборки равен восьми студентам:

Обратите, кстати, внимание как раз на тот момент, что при одном и том же количестве прогулов (15) двое студентов имеют существенно разные результаты.

2) По диаграмме рассеяния хорошо видно, что с увеличением числа прогулов успеваемость преимущественно падает, что подтверждает наличие обратной корреляционной зависимости успеваемости от количества прогулов. Более того, почти все точки «выстроились» примерно по прямой, что даёт основание предположить, что данная зависимость близкА к линейной.

И здесь я анонсирую дальнейшие действия: сейчас нам предстоит найти уравнение прямой, ТАКОЙ, которая проходит максимально близко сразу ко всем эмпирическим точкам, а также оценить тесноту линейной корреляционной зависимости – насколько близко расположены эти точки к построенной прямой.

Технически существует два пути решения:

– сначала найти уравнение прямой и затем оценить тесноту зависимости;
– сначала найти тесноту и затем составить уравнение.

В практически задачах чаще встречается второй вариант, но я начну с первого, он более последователен. Построим:

3) уравнение линейной регрессии на

Это и есть та самая оптимальная прямая , которая проходит максимально близко ко всем точкам. Обычно её находят методом наименьших квадратов, и мы пойдём знакомым путём. Заполним расчётную таблицу:

Обратите внимание, что в отличие от задач урока МНК у нас появился дополнительный столбец , он потребуется в дальнейшем, для расчёта коэффициента корреляции.

Коэффициенты функции найдём из решения системы:

Сократим оба уравнения на 2, всё попроще будет:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

И проверка forever, подставим полученные значения в левую часть каждого уравнения исходной системы:

в результате получены соответствующие правые части, значит, система решена верно.

Таким образом, искомое уравнение регрессии:

Данное уравнение показывает, что с увеличением количества прогулов («икс») на 1 единицу суммарная успеваемость падает в среднем на 6,0485 – примерно на 6 баллов. Об этом нам рассказал коэффициент «а». И обратите особое внимание, что эта функция возвращает нам средние (среднеожидаемые) значения «игрек» для различных значений «икс».

Почему это регрессия именно « на » и о происхождении самого термина «регрессия» я рассказал чуть ранее, в параграфе эмпирические линии регрессии. Если кратко, то полученные с помощью уравнения средние значения успеваемости («игреки») регрессивно возвращают нас к первопричине – количеству прогулов. Вообще, регрессия – не слишком позитивное слово, но какое уж есть.

Найдём пару удобных точек для построения прямой:

отметим их на чертеже (малиновый цвет) и проведём линию регрессии:

Говорят, что уравнение регрессии аппроксимирует (приближает) эмпирические данные (точки), и с помощью него можно интерполировать (восстановить) неизвестные промежуточные значения, так при количестве прогулов среднеожидаемая успеваемость составит балла.

И, конечно, осуществимо прогнозирование, так при среднеожидаемая успеваемость составит баллов. Единственное, нежелательно брать «иксы», которые расположены слишком далеко от эмпирических точек, поскольку прогноз, скорее всего, не будет соответствовать действительности. Например, при значение может вообще оказаться невозможным, ибо у успеваемости есть свой фиксированный «потолок». И, разумеется, «икс» или «игрек» в нашей задаче не могут быть отрицательными.

Второй вопрос касается тесноты зависимости. Очевидно, что чем ближе эмпирические точки к прямой, тем теснее линейная корреляционная зависимость – тем уравнение регрессии достовернее отражает ситуацию, и тем качественнее полученная модель. И наоборот, если многие точки разбросаны вдали от прямой, то признак зависит от вовсе не линейно (если вообще зависит) и линейная функция плохо отражает реальную картину.

Прояснить данный вопрос нам поможет:

4) линейный коэффициент корреляции

Этот коэффициент как раз и оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости и более того, указывает её направление (прямая или обратная). Его полное название: выборочный линейный коэффициент пАрной корреляции Пирсона 🙂

– «выборочный» – потому что мы рассматриваем выборочную совокупность;
– «линейный» – потому что он оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости;
– «пАрной» – потому что у нас два признака (бывает хуже);
– и «Пирсона» – в честь английского статистика Карла Пирсона, это он автор понятия «корреляция».

И в зависимости от фантазии автора задачи вам может встретиться любая комбинация этих слов. Теперь нас не застанешь врасплох, Карл.

Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:
, где: – среднее значение произведения признаков, – средние значения признаков и – стандартные отклонения признаков. Числитель формулы имеет особый смысл, о котором я расскажу, когда мы будет разбирать второй способ решения.

Осталось разгрести всё это добро 🙂 Впрочем, все нужные суммы уже рассчитаны в таблице выше. Вычислим средние значения:

Стандартные отклонения найдём как корни из соответствующих дисперсий, вычисленных по формуле:

Таким образом, коэффициент корреляции:

И расшифровка: коэффициент корреляции может изменяться в пределах и чем он ближе по модулю к единице, тем теснее линейная корреляционная зависимость – тем ближе расположены точки к прямой, тем качественнее и достовернее линейная модель. Если либо , то речь идёт о строгой линейной зависимости, при которой все эмпирические точки окажутся на построенной прямой. Наоборот, чем ближе к нулю, тем точки рассеяны дальше, тем линейная зависимость выражена меньше. Однако в последнем случае зависимость всё равно может быть! – например, нелинейной или какой-нибудь более загадочной. Но до этого мы ещё дойдём. А у кого не хватит сил, донесём 🙂

Для оценки тесноты связи будем использовать уже знакомую шкалу Чеддока:

При этом если , то корреляционная связь обратная, а если , то прямая.

В нашем случае , таким образом, существует сильная обратная линейная корреляционная зависимость – суммарной успеваемости от – количества прогулов.

Линейный коэффициент корреляции – это частный аналог эмпирического корреляционного отношения. Но в отличие от отношения, он показывает не только тесноту, но ещё и направление зависимости, ну и, конечно, здесь определена её форма (линейная).

5) Коэффициент детерминации

– это частный аналог эмпирического коэффициента детерминации – есть квадрат коэффициента корреляции:

– коэффициент детерминации показывает долю вариации признака-результата , которая обусловлена воздействием признака-фактора .

В нашей задаче:
– таким образом, в рамках построенной модели успеваемость на 51,74% зависит от количества прогулов. Оставшаяся часть вариации успеваемости (48,26%) обусловлена другими причинами.

! Примечание: но это не является какой-то «абсолютной истиной», это всего лишь оценка в рамках построенной модели.

Задание выполнено

Но точку ставить рано. Теперь второй способ решения, в котором мы сначала находим коэффициент корреляции, а затем уравнение регрессии.

Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:
, где – стандартные отклонения признаков .

Член в числителе называют корреляционным моментом или коэффициентом ковариации (совместной вариации) признаков, он рассчитывается следующим образом: , где – объём статистической совокупности, а – средние значения признаков. Данный коэффициент показывает, насколько согласованно отклоняются пАрные значения от своих средних в ту или иную сторону. Формулу можно упростить, в результате чего получится ранее использованная версия, без подробных выкладок: . Но сейчас мы пойдём другим путём.

Заполним расчётную таблицу:

При этом сначала рассчитываем левые нижние суммы и средние значения признаков:
и только потом заполняем оставшиеся столбцы таблицы. О том, как быстро выполнить эти вычисления в Экселе, будет видео ниже!

Вычислим коэффициент ковариации:
.

Стандартные отклонения вычислим как квадратные корни из дисперсий:

Таким образом, коэффициент корреляции:

И если нам известны значения , то коэффициенты уравнения регрессии легко рассчитать по следующим формулам:

Таким образом, искомое уравнение:

Теперь смотрим ролик о том, как это всё быстро подсчитать и построить:

Как вычислить коэффициент корреляции и найти уравнение регрессии? (Ютуб)

Если под рукой нет Экселя, ничего страшного, разобранную задачу не так трудно решить в обычной клетчатой тетради. А если Эксель есть и времени нет, то можно воспользоваться моим калькулятором. Да, вы можете найти аналоги в Сети, но, скорее всего, это будет не совсем то, что нужно 😉

Какой способ решения выбрать? Ориентируйтесь на свой учебный план и методичку. По умолчанию лучше использовать 2-й способ, он несколько короче, и, вероятно, потому и встречается чаще. Кстати, если вам нужно построить ТОЛЬКО уравнение регрессии, то уместен 1-й способ, ибо там мы находим это уравнение в первую очередь.

Следующая задача много-много лет назад была предложена курсантам местной школы милиции (тогда ещё милиции), и это чуть ли не первая задача по теме, которая встретилась в моей профессиональной карьере. И я безмерно рад предложить её вам сейчас, разумеется, с дополнительными пунктами:)

В результате независимых опытов получены 7 пар чисел:

…да, числа могут быть и отрицательными.

По данным наблюдений вычислить линейный коэффициент корреляции и детерминации, сделать выводы. Найти параметры линейной регрессии на , пояснить их смысл. Изобразить диаграмму рассеяния и график регрессии. Вычислить , что означают полученные результаты?

Из условия следует, что признак , очевидно, зависит от (ибо кто ж делает бессвязные опыты). Однако помните, что корреляционная зависимость и причинно-следственная связь – это не одно и то же! (прочитайте, если до сих пор не прочитали!). Поэтому, если в задаче просто предложены два числовых ряда (без контекста), то можно говорить лишь о зависимости корреляционной, но не о причинно-следственной.

Все данные уже забиты в Эксель, и вам осталось аккуратно выполнить расчёты. В образце я решил задачу вторым, более распространённым способом. И, конечно же, выполните проверку первым путём.

Следует отметить, что в целях экономии места я специально подобрал задачи с малым объёмом выборки. На практике обычно предлагают 10 или 20 пар чисел, реже 30, и максимальная выборка, которая мне встречалась в студенческих работах – 100. …Соврал малость, 80.

И сейчас я вас приглашаю на следующий урок, назову его Уравнение линейной регрессии, где мы рассчитаем и найдём всё то же самое – только для комбинационной группировки. Плюс немного глубже копнём уравнения регрессии (их два).

Пример 68. Решение: вычислим суммы и средние значения признаков , и заполним расчётную таблицу:

Вычислим коэффициент ковариации:
.
Вычислим средние квадратические отклонения:

Вычислим коэффициент корреляции:
, таким образом, существует сильная прямая корреляционная зависимость от.

Вычислим коэффициент детерминации:
– таким образом, 77,19% вариации признака обусловлено изменением признака . Остальная вариация (22,81%) обусловлена другими факторами.

Вычислим коэффициенты линейной регрессии :

Таким образом, искомое уравнение регрессии:

Данное уравнение показывает, что с увеличением значения «икс» на одну единицу «игрек» увеличивается в среднем примерно на 1,32 единицы (смысл коэффициента «а»).

При среднеожидаемое значение «игрек» составит примерно 2,62 ед. (смысл коэффициента «бэ»).

Найдём пару точек для построения прямой:

и выполним чертёж:

Вычислим:
– среднеожидаемое значение «игрек» при (интерполированный результат);
– среднеожидаемое значение «игрек» при (спрогнозированный результат).

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник