круг и шар чем отличаются
Математика. 5 класс
Конспект урока
Окружность и круг. Сфера и шар
— понятия «окружность», «круг», «сфера», «шар» и их элементы;
— изображение окружности на плоскости, сферы в пространстве.
Окружность – это плоская замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки – её центра.
Круг – плоская геометрическая фигура, являющаяся местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки (центра).
Центр окружности – это точка, равноудалённая от точек окружности.
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий какую-нибудь точку этой окружности с её центром.
Хорда окружности – это отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности.
Диаметр окружности – это хорда, проходящая через центр окружности.
Шар – это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Сфера – это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, которую называют центром сферы.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ещё в глубокой древности люди изобрели колесо, придумали гончарный круг, сделали украшения в виде колец, то есть создали предметы, в основе которых лежит окружность или круг. В современных устройствах эти геометрические фигуры тоже встречаются очень часто. Сегодня мы поговорим не только о том, как они используются в наше время, но и выясним их отличие друг от друга.
Итак, что же такое окружность?
Окружность – это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта точка называется центром окружности.
Построим окружность. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки отрезок длиной 3 см. Поставим иголку циркуля в точку О и начертим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую линию, которую называют окружностью. Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, то есть окружность есть граница круга.
При построении окружности расстояние между ножками циркуля не меняется. Поэтому все точки окружности равно удалены от точки О. Точку O называют центром и окружности, и круга. Отметим на окружности любую точку – например, точку L. Построим отрезок, соединяющий точку L с центром окружности – точкой О.
Отрезок ОL называют радиусом окружности.
Отметим на окружности любые две точки. Например, C и D. Построим отрезок, соединяющий точки C и D.
Отрезок CD называют хордой окружности. Некоторые хорды окружности проходят через её центр. Например, хорда AB проходит через центр окружности. Такую хорду называют диаметром окружности. То есть АВ – диаметр окружности.
Концы диаметра делят окружность на две равные части. Длина диаметра окружности равна двум радиусам. Две точки делят окружность на две части, называемые дугами. Например, CD. Обычно рассматривается одна из дуг окружности, определяемая по смыслу задачи.
Окружность разбивает плоскость на две части – внутреннюю область и внешнюю.
Давайте представим себе яблоко и воздушный шарик.
Чем они отличаются друг от друга?
Они оба имеют форму шара. Однако воздушный шарик полый внутри. Для таких предметов в математике есть название – сфера. А яблоко, с точки зрения математиков, – это шар.
Шар–это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с его центром, называется радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.
Поверхность шара называется сферой.
Сфера – это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, которую называют центром сферы.
Окружность и круг являются плоскими фигурами, то есть такими, которые располагаются в пределах одной плоскости. Такие фигуры – это не что иное, как рисунки на листе бумаги. Рассмотренные на уроке сфера и шар относятся к пространственным телам. Между сферой, шаром, окружностью и кругом есть взаимосвязь. Сфера и шар образуются вращением вокруг оси окружности и круга соответственно.
В жизни для построений мы используем различные инструменты. Так, для того чтобы нарисовать окружность, необходим циркуль. Но как появился циркуль? Обратимся к мифам Древней Греции.
В далёкие времена в Афинах жил юноша, которого звали Талос. Он с детства был очень талантлив. В 12 лет он изобрёл гончарный круг для изготовления посуды. Также он придумал первую пилу, обратив в живой природе внимание на то, что скелет рыбы напоминает острые зубья. И наконец, Талос изобрёл устройство для построения окружностей, так называемый циркуль – инструмент в виде двух одинаковых стержней, соединённых шарниром. Так гласит легенда, а как было на самом деле, история умалчивает: известно лишь то, что на древних памятниках искусства фигуры и орнаменты из окружностей, умело выполненные древними мастерами, почти идеальны.
№ 1. Подпишите соответствующие элементы окружности.
Вспомним определения радиуса (это отрезок, соединяющий какую-нибудь точку этой окружности с её центром), хорды (это отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности), диаметра (это хорда, проходящая через центр окружности) и ценрта окружности (это точка, равноудалённая от точек окружности).
О – центр окружности.
№ 2. Выберите правильный ответ.
Рассмотрим отрезок АК, длина которого равна 8см. Построено две окружности: первая – с центром в точке A, а вторая – с центром в точке К. Их радиусы, соответственно, равны 4 см и 6 см. Сколько общих точек имеют окружности?
Решение: чтобы ответить на вопрос, изобразим отрезок и окружности.
Ответ: общих точек будет две. Они будут лежать на пересечении двух окружностей.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Окружность и круг. Сфера и шар
— понятия «окружность», «круг», «сфера», «шар» и их элементы;
— изображение окружности на плоскости, сферы в пространстве.
Окружность – это плоская замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки – её центра.
Круг – плоская геометрическая фигура, являющаяся местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки (центра).
Центр окружности – это точка, равноудалённая от точек окружности.
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий какую-нибудь точку этой окружности с её центром.
Хорда окружности – это отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности.
Диаметр окружности – это хорда, проходящая через центр окружности.
Шар – это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Сфера – это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, которую называют центром сферы.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ещё в глубокой древности люди изобрели колесо, придумали гончарный круг, сделали украшения в виде колец, то есть создали предметы, в основе которых лежит окружность или круг. В современных устройствах эти геометрические фигуры тоже встречаются очень часто. Сегодня мы поговорим не только о том, как они используются в наше время, но и выясним их отличие друг от друга.
Итак, что же такое окружность?
Окружность – это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта точка называется центром окружности.
Построим окружность. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки отрезок длиной 3 см. Поставим иголку циркуля в точку О и начертим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую линию, которую называют окружностью. Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, то есть окружность есть граница круга.
При построении окружности расстояние между ножками циркуля не меняется. Поэтому все точки окружности равно удалены от точки О. Точку O называют центром и окружности, и круга. Отметим на окружности любую точку – например, точку L. Построим отрезок, соединяющий точку L с центром окружности – точкой О.
Отрезок ОL называют радиусом окружности.
Отметим на окружности любые две точки. Например, C и D. Построим отрезок, соединяющий точки C и D.
Отрезок CD называют хордой окружности. Некоторые хорды окружности проходят через её центр. Например, хорда AB проходит через центр окружности. Такую хорду называют диаметром окружности. То есть АВ – диаметр окружности.
Концы диаметра делят окружность на две равные части. Длина диаметра окружности равна двум радиусам. Две точки делят окружность на две части, называемые дугами. Например, CD. Обычно рассматривается одна из дуг окружности, определяемая по смыслу задачи.
Окружность разбивает плоскость на две части – внутреннюю область и внешнюю.
Давайте представим себе яблоко и воздушный шарик.
Чем они отличаются друг от друга?
Они оба имеют форму шара. Однако воздушный шарик полый внутри. Для таких предметов в математике есть название – сфера. А яблоко, с точки зрения математиков, – это шар.
Шар–это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с его центром, называется радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.
Поверхность шара называется сферой.
Сфера – это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, которую называют центром сферы.
Окружность и круг являются плоскими фигурами, то есть такими, которые располагаются в пределах одной плоскости. Такие фигуры – это не что иное, как рисунки на листе бумаги. Рассмотренные на уроке сфера и шар относятся к пространственным телам. Между сферой, шаром, окружностью и кругом есть взаимосвязь. Сфера и шар образуются вращением вокруг оси окружности и круга соответственно.
В жизни для построений мы используем различные инструменты. Так, для того чтобы нарисовать окружность, необходим циркуль. Но как появился циркуль? Обратимся к мифам Древней Греции.
В далёкие времена в Афинах жил юноша, которого звали Талос. Он с детства был очень талантлив. В 12 лет он изобрёл гончарный круг для изготовления посуды. Также он придумал первую пилу, обратив в живой природе внимание на то, что скелет рыбы напоминает острые зубья. И наконец, Талос изобрёл устройство для построения окружностей, так называемый циркуль – инструмент в виде двух одинаковых стержней, соединённых шарниром. Так гласит легенда, а как было на самом деле, история умалчивает: известно лишь то, что на древних памятниках искусства фигуры и орнаменты из окружностей, умело выполненные древними мастерами, почти идеальны.
№ 1. Подпишите соответствующие элементы окружности.
Вспомним определения радиуса (это отрезок, соединяющий какую-нибудь точку этой окружности с её центром), хорды (это отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности), диаметра (это хорда, проходящая через центр окружности) и ценрта окружности (это точка, равноудалённая от точек окружности).
О – центр окружности.
№ 2. Выберите правильный ответ.
Рассмотрим отрезок АК, длина которого равна 8см. Построено две окружности: первая – с центром в точке A, а вторая – с центром в точке К. Их радиусы, соответственно, равны 4 см и 6 см. Сколько общих точек имеют окружности?
Решение: чтобы ответить на вопрос, изобразим отрезок и окружности.
Ответ: общих точек будет две. Они будут лежать на пересечении двух окружностей.
Интегрированное занятие по сенсорному развитию в средней группе «Сравнение плоскостной и объёмной фигур. Круг и шар»
Конспект интегрированного занятия в средней группе.
Сенсорное развитие.
«Сравнение плоскостной и объёмной фигур, на примере круга и шара»
1. Показать детям способ сравнения круга и шара.
2. Сравнение и называние геометрических фигури форм по двум признакам: цвет и величина.
3. Упражнять в счёте в пределах 5.
4. Закрепить умение детей разбивать группу предметов по цвету.
5. Закрепить умение работать с ножницами.
6. Развивать внимание, умение мыслить, рассуждать.
7. Развивать память, логическое мышление, речь, коммуникативные способности.
8. Доставить детям радость и удовлетворение от игр развивающей направленности. Под-
держивать положительные эмоциональные отношения детей.
Познание. Художественное слово. Коммуникация. Музыка. Художественное творчество.
Математика. Окружающий мир. Музыка. Экспериментирование.
Изготовление домиков, вырезывание геометрических фигур, игры с мячом, музыкально-дидактические игры.
Мячи разного размера, но одного цвета, домики разноцветные (красный, синий, жёлтый, зелёный)
Разрезанные на 4-5 частей геометрическая фигура-круг; ножницы, цветной картон, мячи разных цветов, шары воздушные, мыльные пузыри, набор коробочек в форме шара, вазочки с фасолью, монетами, ракушками, орехами, крупой, горохом.
Ход занятия:
Дети входят в зал, приветствуют гостей и рассаживаются за столы.
-Ребята, соберите из частей геометрическую фигуру.
-Какая фигура у вас получилась? (Круг)
-В руки ножницы возьмём
А теперь, смотри, мой друг,
Получился у нас круг!
-Какие предметы похожи на круг? (Руль, тарелка, блин, часы)
-Давайте попробуем поиграть кружочками, покатайте его, побрасывайте, закройте его ладошками. Поучилось его спрятать (Да)
Зажмите его между ладошками. Что мы можем сказать про круг? Какой он? (Плоский)
-А сейчас отгадайте загадку:
Надоело мне катиться
Не могу остановиться
Я старался но не смог
У меня ни рук, ни ног
Ни затылка, ни лица
Ни начала, ни конца. (Мяч)
-Какие предметы похожи на шар? (Апельсин, арбуз, лампа, мяч.)
-Давайте поиграем мячиком. Покатайте его вперёд, назад, вокруг себя и т. д.
Попробуйте спрятать его, накройте его ладошками. Не получается?
А почему мы не можем его спрятать (Он объёмный, пузатый)
-Отбейте мяч об пол 5 раз. (Молодцы)
-Посмотрите на мячи они все разного цвета,и мы с вами сейчас поиграем в игру
Мой веселый, звонкий мяч
Ты куда помчался вскач
Красный, жёлтый, голубой
Отыщи-ка домик свой.
(Пока звучит музыка, дети бегают по залу врассыпную, как только музыка останавливается, находят домик, соответствующий цвету их мяча)
-Молодцы, вы были очень внимательными, все нашли свои домики правильно.
-Посмотрите, у нас на ковре мячи раскатились в разные стороны.
-Что у них общего (Круглые, красные)
-Чем отличаются (Размером)
-Разложите их от самого большого, до самого маленького.
-Сколько всего мячей? (Пять)
Воспитатель подводит детей к столу на котором стоит таз с водой
-Возьмите кружочки, положите их в воду Побрызгайте на них водой.
Опустите их на дно. Что с ними произошло? (Они утонули)
-Почему это произошло? (Бумажные, намокли)
-А теперь возьмите шарики. Положите их в воду, побрызгайте на них, опустите на дно и
Отпустите. Что с ними происходит? (Они выпрыгивают)
-Почему? Что внутри шарика (воздух)
-А как воздух попал в шарик? Что надо сделать, чтобы шарик стал больше (Его надо надуть) Покажите, как надо выдохнуть воздух.
-Но чтобы выдохнуть воздух, его надо вдохнуть. (Воспитатель показывает вдох через нос,
— Сейчас мы будем вдыхать и выдыхать воздух, и если вы будете делать это правильно,
То у вас получатся пузыри. (Воспитатель раздаёт мыльные пузыри)
-Почему они летают? (В них воздух, они лёгкие-воздух лёгкий)
-Я хочу показать вам еще что-то интересное. Что это (показывает погремушку)
А ещё у меня на столе лежат разные предметы, посмотрите на них. (Дети рассматривают коробочки, набор сыпучих тел, монеты, ракушки)
-Сейчас каждый изготовит свою погремушку. (Дети выбирают сыпучие предметы и наполняют каждый свою коробочку)
-У нас получились музыкальные инструменты и у каждого он звучит по своему.
Давайте создадим оркестр и сыграем все вместе.
К звездам улетим легко! Аппликация Не секрет, что детям дошкольного возраста тема «Космос» необычайна интересна. Перед Днем Космонавтики они получают возможность узнать много.
Работа с математическим планшетом. Система работы с планшетами. 1. Понедельник Слуховые диктанты. Возможны со средней группы детского сада. Используется только девять штырьков.
В чем разница между шаром и кругом? Как отличить круг от шара?
В школьном учебнике сказано, что кругом называют плоскость, все точки которой находятся на расстоянии от ее центра на расстоянии, которое не превышает заданного, это расстояние называется радиусом. В этом же учебнике сказано, что шаром называют тело, все точки которого находятся на заданном расстоянии от его цента, это расстояние тоже называется радиусом. Можно использовать и другое определение, которое гласит, что шар можно получить вращением половины окружности вокруг ее диаметра. Круг имеет только два измерения, которые определяются диаметрами, а шар имеет объем, поэтому у него три измерения, но все измерения равны его диаметру. Короче, круг абстракция, а шар можно потрогать руками.
То есть круг описывается окружностью, все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от центра круга, равном его радиусу. Круг включает в себя и всю внутреннюю плоскость, ограниченную окружностью данного радиуса (все точки которой лежат на расстоянии, меньшем радиуса).
Шар получаетсяется при вращении полукруга относительно неподвижного диаметра. Есть специальное название для всех точек, которые образуют поверхность шара.
Это сфера.
Сферические поверхности полые внутри, в то время как шар включает в себя все точки пространства, расположенные на расстоянии от центра шара, меньшем или равном радиусу шара.
В этих «круглых» понятиях ещё можно добавить:окружность, круг, шар(или сфера).
Окружность это линия, и больше ничего.Окружность имеет Длину.А вот то, что окружность ограничивает, то есть часть плоскости, ограниченная окружностью-это круг.Круг имеет Площадь.
А вот что-то уже не плоское, а объёмное именуется шаром, или сферой.Практически любое сечение шара это круг.А сечение производится плоскостью, и имеет только площадь, а объёма не имеет.
То есть, круг вы можете засунуть в шкаф между книжками, они тоже имеют плоские обложки.А шар вы между книжками, плотно стоящими не засунете.
Круг является плоской фигурой, он лежит на плоскости, в одном пространстве
Но если мы будем изображать на бумаге шар, то он будет схематично выглядеть как круг, внутри которого дорисовали еще пару линий.
Сейчас узнаем, существует ли такой треугольник. Для этого сложим длины двух сторон и сравним с третьей. Итак: 1 + 2 = 3, а три меньше четырех. Следовательно, такого треугольника не существует, построить его невозможно.
Вместе с тем, треугольники BFC и EFA подобны, а значит, ВС/AE = BF/FE.
Таким образом, имеем систему уравнений:
В результате преобразований получим немного жутковатое кубическое уравнение:
единственным положительным корнем которого является х = 6 (честно сознаюсь, что уравнение решала не сама).
Теперь, когда известна длина AE, найти высоту параллелограмма не составит труда:
Параметров свободных очень много. Можно выбирать любые. Выберем банальное перпендикулярное пересечение.
Второе и третье подставляем в первое
(78+145V)^2 + (145U)^2 = 328^2
отсюда выражаем U через V
подставляем в четвёртое
V =46,153845 км/час = 0,76923075 км/мин (приблизительно)
Соответственно U =1,84615386 км/мин = 110,7692315862 км/час
Осталась мелочь: догадаться, что нужно поменять, чтобы автомобили достигли перекрёстка одновременно?
Проще всего поменять скорость самих автомобилей и время, через которое состоится встреча, оставив неизменным угол между дорогами и начальные координаты автомобилей.
Попросим автомобили встретиться через час.
За этот час они сблизятся на 328 км. Надо полагать, что скорость сближения 328 км/час
А если попросим встретиться через два часа?
Тогда скорость сближения будет ровно в два раза меньше.
Можно оставить в покое скорости автомобилей, но дать им другие точки старта,
время встречи возьмём из условия через 2 ч 25 мин
Для автомобиля, который и так через это время будет на перекрёстке, ничего менять не будем.
Ну, а второй передвинем влево на 78 км. x = 111,53845875 км
Расстояние между автомобилями s = sqrt(x^2+y^2)=290 км
скорость сближения 290/145 = 2 км/мин = 120 км/час
Но нарушено условие про начальное расстояние между автомобилями.
Сохраним начальное расстояние между автомобилями, но не будем обращать внимания на промежуточное время.
(Ut)^2 + (Vt)^2 = 328^2 => t = 328/sqrt(U^2 + V^2) =164 минуты.
скорость сближения 290/145 = 2 км/мин = 120 км/час
Общее время автопробега 265 мин, после встречи 101 мин. Конечное расстояние
(101/60) * sqrt( U^2 + V^2 )=222 км
С некоторой попытки угадалось, какое число из условия можно выбросить, а какие нельзя.
Какому-то древнему греку взбрело в голову померять землю, а так как землю древние греки обзывали «гео», то измерение земли назвали геометрией. Сначала меряли плоские структуры, выводили законы и зависимости геометрии, потом распространили в третье измерение. Евклид собрал все эти достижения в своей книге «Начала», котрая стала учебником «евклидовой геометрии». В 17 веке Декарт придумал координаты и заложил основы аналитической геометрии. Уже не надо было чертить, стало можно считать пользуясь отношением координат точек примитивов.
Если линейка градуированная, то окружность не нужна для ответа на вопрос.