линия мебиуса что это
Мёбиус и его лента
Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. Именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мебиуса, которая была обнаружена независимо еще одним немецким математиком Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 г.
Отец будущего ученого работал преподавателем танцев, а потому проживал в комнатах для преподавателей с женой и ребенком. Маленький Август плохо запомнил отца, ведь тот умер, когда ребенку не было еще и трех лет. Поэтому все начальное воспитание дала ему мать, в семье которой всегда гордились ее предком, Мартином Лютером. Кстати, уже в раннем возрасте Август активно интересовался математикой.
После окончания гимназии Мебиус поступил в Лейпцигский университет на факультет права. Проучившись полсеместра, он пришел к выводу, что быть правоведом — не его призвание, а потому перешел к изучению астрономии и математики. После окнчания университета Мебиус уехал из Лейпцига. Он посещал лекции в Геттингенском университете, математические семинары в университете Галле.
После защиты диссертации Мебиуса пригласили преподавателем астрономии в Лейпцигский университет. Ему дали звание экстраординарного профессора (несмотря на пышное название — это низшая степень, присваиваемая новичкам). На этом его карьерный рост надолго остановился. Причиной тому было полное неумение выставить себя в выгодном свете, заручиться поддержкой коллег или студентов. Он был очень спокойным и сдержанным человеком, лекции его не отличались театральностью, а потому на них приходило немного студентов. Все просто: чем меньше студентов, вносящих оплату за курс, тем меньше жалование и хуже отношение начальства.
Все это время Август Мебиус живет вместе с матерью, но в 1820 г. она умирает. Возможно, именно неустроенный быт заставляет его решиться на женитьбу. Его избраницей стала слепая от рождения девушка, однако это не помешало ей произвести на свет и воспитать трех прекрасных детей.
Только через 28 лет безупречной службы руководство Лейпцигского университета наконец-то предложило Мёбиусу звание профессора.
Говорят, что открытию свойств ленты Мебиуса, помогла служанка ученого, которая то ли неправильно сшила ленту, то ли слишком тщательно обматывала горло шарфом. На тот момент Мёбиусу было 68 лет.
Эту ленту сравнивают с символом бесконечности, ведь вдоль ее поверхности можно вести линию, сколь угодно долго. Увы, это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.
Существует много занимательных опытов по разрезанию ленты Мебиуса. Но лента Мебиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мебиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.
Лента Мебиуса используется как международный символ вторичной переработки. Этот знак вы увидите на упаковке товара, который сделан из переработанного сырья, либо пригоден для последующей переработки.
Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур и картин.
Голландский художник М.К. Эшер создан несколько литографий с использованием ленты. Один из известнейших примеров — литография «Лист Мебиуса II», в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте.
В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура «Лента Мёбиуса». Скульптурный ансабль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что «Лента Мёбиуса» символизирует связь между прошлым и будущим.
В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. На основании скульптуры есть девиз: «Разные точки зрения на один предмет».
Лента Мебиуса установлена в Риге на месте бывшего памятника Ленина в честь грядущего 800-летия города.
Есть памятный знак «Лента Мёбиуса» в Минске.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса — на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.
В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво.
Лента Мебиуса завсегдатай в научной фантастике, она встречается например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты», постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла», есть в эссе Харуки Мураками «Облади Облада». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мебиуса. Существует теория, что ДНК — это часть листа Мебиуса.
Свойства ленты Мебиуса нашли свое применение не только в науке, технике, но и в быту. Вязальщицы неутомимо вяжут снуды — шарфы в виде ленты Мебиуса. Надеюсь, что именно они поддержат эту публикацию, нажав на кнопочку «нравится»!
Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку.
Что это такое?
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Кто и когда ее открыл?
Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».
Свойства
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.
Научное использование
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.
Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.
Реализация на практике
В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 180 0 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
Источник творческого вдохновения
Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.
Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.
Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.
Литература и топология
Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.
Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».
Делаем сами, своими руками!
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются:
— лист обычной бумаги;
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180 0 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Лента Мебиуса: что это такое и кто ее придумал?
Этот объект известен с середины XIX века. Его необычная форма скрывает не менее необычные свойства. Самое интересное, что сделать такой объект можно из обычного листа бумаги.
Сделать ленту Мебиуса можно за пару минут из обычной полоски бумаги. Для этого нужно взять полоску, развернуть один из ее краев на 180 градусов так, чтобы нижняя часть полоски стала верхней. Затем необходимо склеить оба края. Получится замкнутая фигура, называемая лентой Мебиуса.
Лента Мебиуса обладает множеством разных свойств, но есть одно, которое выделяет эту фигуру среди других. Представим, что мы встали на такую ленту и пошли по ней в любом направлении. Когда мы пройдем полный круг, то окажемся в той же точке ленты, но на обратной ее стороне. Если двигаться дальше и пройти второй круг, то мы придем в изначальную точку. Это свойство называется односторонностью поверхности.
Эта фигура получила название от фамилии немецкого математика, который впервые описал ее в литературе в 1858 году. Однако, судя по историческим находкам, математики были не первыми, кто «додумался» до такой ленты. В Мюнхенской глиптотеке есть римская мозаика, которая датируется III веком нашей эры. На ней изображен бог Эон внутри небесной сферы, свернутой в виде ленты Мебиуса. Поэтому, хотя эта фигура и носит имя немецкого математика, считать его изобретателем этой структуры нельзя.
На первый взгляд кажется, что лента Мебиуса, как и многие математические структуры, бесполезна в реальном мире. Однако, эта фигура прочно вошла в нашу жизнь, хотя заметить ее совсем непросто. Например, в виде ленты Мебиуса делают конвейеры. Их плюс в том, что вся полоса изнашивается равномерно. Также в виде этой фигуры делают красящие ленты в матричных принтерах, что позволяет увеличить их ресурс работы. Наиболее знаменитое воплощение ленты Мебиуса в реальной жизни — это символ переработки (ресайклинга)
Лента Мебиуса: что это и кто ее изобрел
Сделать ленту Мебиуса можно за пару минут из обычной полоски бумаги. Для этого нужно взять полоску, развернуть один из ее краев на 180 градусов так, чтобы нижняя часть полоски стала верхней. Затем необходимо склеить оба края. Получится замкнутая фигура, называемая лентой Мебиуса.
Лента Мебиуса обладает множеством разных свойств, но есть одно, которое выделяет эту фигуру среди других. Представим, что мы встали на такую ленту и пошли по ней в любом направлении. Когда мы пройдем полный круг, то окажемся в той же точке ленты, но на обратной ее стороне. Если двигаться дальше и пройти второй круг, то мы придем в изначальную точку. Это свойство называется односторонностью поверхности.
Эта фигура получила название от фамилии немецкого математика, который впервые описал ее в литературе в 1858 году. Однако, судя по историческим находкам, математики были не первыми, кто «додумался» до такой ленты. В Мюнхенской глиптотеке есть римская мозаика, которая датируется III веком нашей эры. На ней изображен бог Эон внутри небесной сферы, свернутой в виде ленты Мебиуса. Поэтому, хотя эта фигура и носит имя немецкого математика, считать его изобретателем этой структуры нельзя.
На первый взгляд кажется, что лента Мебиуса, как и многие математические структуры, бесполезна в реальном мире. Однако, эта фигура прочно вошла в нашу жизнь, хотя заметить ее совсем непросто. Например, в виде ленты Мебиуса делают конвейеры. Их плюс в том, что вся полоса изнашивается равномерно. Также в виде этой фигуры делают красящие ленты в матричных принтерах, что позволяет увеличить их ресурс работы. Наиболее знаменитое воплощение ленты Мебиуса в реальной жизни — это символ переработки (ресайклинга).
Лента Мёбиуса и знак бесконечности.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств. Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».
Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».
Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».
В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.
С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».
Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.
В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.
Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)
Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:
Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.