менять вектор что значит
Обычно потому, что плохо осознаем свои истинные желания, руководствуясь при выборе дела своей жизни влиянием извне: модой, советами родителей и друзей или просто собственными иллюзиями.
Хорошо, если это произойдет как можно раньше, в детском возрасте. Сам ребенок, конечно же, не в состоянии определиться со своими желаниями, но помочь ему в этом могут родители. Имея знания по системно векторной психологии, уже с самого раннего возраста они увидят в нем проявление тех или иных векторов, то есть природно заданных способностей, которые впоследствии реализуются их видовой ролью в обществе.
Доминантные вектора
Верхние и нижние вектора
Что такое реализация?
Теперь, определившись со своими природными желаниями и выбрав стержень, стоит задуматься о том, что такое реализация. Чем мы руководствуемся при выборе работы? В настоящее время все чаще можно слышать такие варианты: величиной заработной платы, наличием социального пакета, удобством местоположения. А в целом, это можно выразить так: хочу взять от работы как можно больше, а отдать как можно меньше. И уже практически нигде не услышишь: хочу максимально реализовать свой потенциал на благо общества, хочу работать для людей. То есть при поиске работы мы изначально руководствуемся неправильным намерением. Вопрос должен ставиться так: «Что я могу дать обществу?»
— определиться со своим векторным набором;
— найти стержень в виде доминантного вектора, доминантного желания;
— найти правильное намерение в реализации на отдачу.
Хочу изменить свою жизнь, не знаю, с чего начать
Автор: Татьяна Фарафонова, психолог
Когда клиент впервые приходит на консультацию, психолог задает ему такой вопрос: « А что есть такого в вашей жизни, чего бы вы не хотели менять ни при каких обстоятельствах?» Только после ответа самого клиента на этот вопрос можно начинать процесс настоящих изменений.
Менять или не менять?
Почему именно так, а не иначе? Мы являемся целостной личностью. Иногда человеку кажется, что проблема лежит только в рабочей плоскости или в области здоровья, либо связана с отношениями. На самом деле это не так. В процессе психотерапии обычно выясняется, что если есть проблема в одной области, то любые изменения обязательно повлекут за собой перемены и в других областях жизни.
Поэтому, начиная процесс изменений, не так важно, с какой области вы начнете. Будь то смена работы, мужа, путешествие, новая прическа или что-то другое — будут ли эти внешние изменения желанными, значимыми для вас и полностью вас устраивающими, будет зависеть, прежде всего, от ваших внутренних изменений.
Можно начать любить себя, как советуют психологи, ходить по салонам красоты, баловать себя, холить и лелеять. Но в этом ли дело? Как начать любить себя, если дети болеют, на работе завал, и в отношениях не все ладится, да и здоровье оставляет желать лучшего? На практике выясняется, что большой радости внешние изменения не приносят, являются ситуативными и быстро проходящими.
Порой, поразмыслив и поняв, что все в жизни идет не так уж плохо, люди полностью снимают вопрос о предстоящих изменениях с повестки дня. Другие же, не пугаясь трудностей, отправляются в это увлекательное путешествие внутренних изменений, называемое «познанием самого себя». Когда человек начинает понимать свойства своей личности, особенности своего характера, свои истинные желания и цели, то с этого момента и начинаются настоящие изменения в его жизни.
Чего желает ваше бессознательное?
Как и где можно научиться правильно распознавать свои свойства, понимать себя и других людей? Сегодня на рынке психологии предлагается очень много услуг, разных методик и способов получить то, что якобы человеку нужно.
Одной из таких методик является Системно-векторная психология Ю. Бурлана. Чем же этот метод предпочтительнее других? Результатами. Массовые, повторяемые, устойчивые, значимые результаты — вот самый главный критерий, по которому человек должен выбирать способ для качественных изменений своей жизни.
Системно-векторная психология Юрия Бурлана позволяет работать с причиной, дифференцируя людей по врожденным свойствам и желаниям — векторам. Векторов всего восемь. Каждый вектор, находящийся на определенном уровне развития и реализации, имеет свой жизненный сценарий. При сочетании нескольких векторов, присутствующих в одном человеке, эти сценарии будут уже совершенно другими, нежели если бы человек был одновекторным.
Человек, предпочитающий жить в большом городе, обычно обладает 4-5-ю векторами. Тех, кто обладает всего одним или двумя векторами, природный ландшафт вытесняет подальше от городской суеты, на окраину или в деревню. Зная себя, каждый чувствует себя хорошо в том месте, которое соответствует его психическим задаткам. Ведь векторальный набор врожденный и не меняется в течение жизни. И нужно всего лишь правильно использовать свойства, данные нам природой. Реализуя в полной мере свой психический потенциал, любой человек может чувствовать себя счастливым.
Стремление к успеху и первенству
Например, человеку, обладающему кожным вектором, легче жить в городе, частая смена ландшафта, большой поток новых людей, поездки, движение, переезды — все это ему очень нравится. Такого долго не удержишь на месте. Он стремится к успеху, материальному превосходству, польза-выгода — его главный приоритет и критерий. Такой со скуки умрет в деревне. Самое сильное стремление к переменам и испытывают как раз представители кожного вектора, и они легко идут на это.
Такие люди склонны изменять все, начиная с уровня неживой природы и заканчивая человеческим. От строительства мостов, домов и магистралей до новых технических и научных разработок. Любое изменение ландшафта происходит благодаря людям с кожным вектором. Чем более развит такой человек, тем глобальнее и значимее для всего человечества изменения, привносимые им в мир.
Если обладатель кожного вектора не развит или по разным причинам не может достичь должного уровня реализации, он реализует потребность в переменах на более доступном уровне, например, меняет сексуальных партнеров. Частая смена автомобилей, места жительства или сексуальных поз, изучение на практике Камасутры являются кажущимися переменами в жизни такого человека. Этого всегда оказывается мало. На самом деле настоящие перемены ждут его тогда, когда он поймет, как на самом деле работают механизмы его психики, то, к чему он бессознательно так стремится.
Самые большие консерваторы
А вот обладатель анального вектора по своей природе очень усидчивый, склонный к монотонной однообразной работе, является лучшим специалистом. Такой человек практически не склонен что-либо менять в своей жизни. Любые, особенно глобальные перемены будут являться для него сильным фактором, вызывающим стресс. Семья, жена и дети, традиции, дом, сад, передача знаний и умений ученикам — все это является главной ценностью его жизни. Живя в мегаполисе, он нередко испытывает стресс, ему комфортнее в небольшом городе с размеренным ритмом жизни.
Стремление к красоте и потребность в эмоциях
Девочка со зрительным вектором не может и дня прожить без красоты. Модные прически, бусики, колечки, красивый интерьер, великолепие природы — все это вдохновляет ее и дает желание жить. Лежит ли акцент исключительно на внешней красоте или в том числе на внутренней, зависит от уровня развитости свойств вектора. Эмоции — ее жизненная сила. Без них она впадает в тоску и уныние. Чувство любви — это все, что ей нужно. Не имея возможности разделить свои чувства, прожить их в искреннем душевном общении с другими людьми, в парных отношениях, зрительный человек будет чувствовать неудовлетворенность и желание что-то изменить в своей жизни.
С чего начать?
И так в каждом конкретном случае. Потребность перемен часто обусловлена неудовлетворенностью наших желаний. Системно понимая их, нам легче сориентироваться, отделить наносные цели от собственных потребностей, важное от менее важного, отследить свои состояния, которые нередко являются препятствием для реализации желаемых перемен.
Часто камнем преткновения становится вопрос взаимопонимания. Не понимая друг друга, нам сложно избежать конфликтов и трений в отношениях, что часто вносит свою лепту в ощущение неудовлетворенности жизнью. Что-то изменить в отношениях можно, лишь хорошо понимая того, с кем выстраиваешь отношения, а не через себя и свои ожидания. Тренинг по системно-векторной психологии дает нам для этого все необходимые знания, помогая найти самую короткую дорогу к себе и друг другу.
О своих переменах в семейной жизни, воспитании ребенка, вопросах самопознания и реализации рассказывает Диана:
Меняем жизнь по-русски
«Начните изменения со здорового образа жизни», — советуют представители традиционной китайской медицины в России. Цигун, Тайци — Цуань, волшебные пилюли и музыка пяти стихий помогут обрести гармонию и внутренний покой, а вместе с ними и отличное здоровье. Все эти методики направлены на снижение уровня стресса и хорошо подходят людям с мышечным менталитетом. Делай, как я, и будешь здоров.
Для нашего менталитета не приемлемо думать о своем здоровье до того, как ты заболел. «Пришла беда — отворяй ворота», как говорится. У китайцев другой менталитет, мышечный, они все дружно занимаются Цигун в парках и площадях и прямо на производстве дружно и синхронно выполняют упражнения.
Мы же, русские люди с уретральным менталитетом, обычно превозносим выше себя все иностранное: «Барин из-за границы приехал — поклон тебе, барин». И поэтому готовы заниматься всем, чем угодно, лишь бы это было не в русских традициях. При этом уничижительно относимся к самим себе, своему правительству и России в целом. Начните думать и жить, как американец, китаец или европеец, и ваша жизнь не просто изменится, а покатится под откос во всех смыслах, в которых вы ждали перемен.
Мы, русские, можем жить, учиться, лечиться, думать и действовать только по-русски и никак иначе. Главное — понять себя и особенности родного менталитета. Благодаря этому стрессоустойчивость с каждым днем будет становиться все тверже, а жизнь спокойнее и позитивнее. При этом не нужно будет выполнять разные упражнения в замедленном темпе, подключать дыхательные практики и пить волшебные пилюли.
Каждому – своё!
Зная себя, человек может легко изменять свою жизнь, не изменяя себе. Сегодня предлагается множество способов для изменений, различные восточные и западные практики, медитации и аффирмации. Но, к большому разочарованию практикующих, они ничего не дают для настоящих изменений. Потому, что человек, не зная себя, может изнурять свое тело голоданием и физическими нагрузками, не соответствующими собственной природе, и получать от этого иногда только вред, а не пользу.
Зная себя, мы находим тот маяк, ту путеводную нить, которая ведет нас к наслаждению собственной жизнью. И эта жизнь уже точно соответствует только нашему критерию оценок и нашему ценностному ряду. Девочка с анальным вектором уже не будет пытаться встать на высокие каблуки, испытывая ужасный для ее ножек дискомфорт, и наконец-то поймет свою кожно-зрительную подружку, которая легко бегает по дорогам на 12-ти сантиметровых шпильках.
Каждому, как говорится, свое. Поэтому, если не знаете, с чего начать изменения, начните с самопознания. Системно-векторная психология вам в помощь. Тем более что ни у одной методики нет такого количества результатов по изменениям в разных областях жизни реальных людей.
Получить свой собственный опыт и попробовать, как работает знание системно-векторной психологии на практике, вы можете уже, посетив бесплатные онлайн-лекции Юрия Бурлана. Регистрация по ссылке: http://www.yburlan.ru/besplatnye-treningi
Статья написана с использованием материалов тренингов по системно-векторной психологии Юрия Бурлана
Автор: Татьяна Фарафонова, психолог
7 Дек, 2015 Комментариев: 0 Просмотров: 3398
Теги: Самопознание психология
Как изменить жизненный вектор?
Взрослый человек (который уже исчерпал все бонусы от своих врожденных талантов) добивается результатов в том направлении, которому посвящает каждую минуту своей жизни. Иными словами, после определенного возраста происходит инвестиция жизни в какое-то направление.
Это необязательно происходит осознанно. Поэтому кто-то инвестирует в телевизор, кто-то в рыбалку, кто-то в карьеру, кто-то в духовную практику. Конечно, при этом человек отвлекается и на другие интересы тоже. Однако даже отвлекаясь, он все равно держит в своем внимании направление его основных жизненных усилий – то, чему он посвящает жизнь.
Человек – существо магическое по своей природе. Магия заключается в той жизненной силе, с которой человек рождается, которая ему дана как подарок, и которую он тратит согласно своим устремлениям и предпочтениям.
Если человек эту жизненную силу тратит на овладение какими-то сверхспособностями – то рано или поздно он их получит.
Если человек тратит жизненную силу на зарабатывание денег, то он их заработает.
Распрощаться с прежними достижениями придется и при любых других переходах к Духовности.
Однако в случае первоначальной ориентации на деньги изменить направление жизни будет сложнее. Ведь переход от магии к Духовному – это переход от незримого материального к незримому нематериальному. А переход от денег к Духовному – это переход от зримого материального к незримому нематериальному.
Из искусства к Духовности путь выглядит более простым – это переход от зримого нематериального (чем и является искусство) к незримому нематериальному. Такой переход порой может даже быть естественным продолжением возрастного вызревания человеческой психики.
То же можно сказать и о переходе от денег к искусству. Нередки случаи, когда люди, достигшие значительных успехов в мире денег, с возрастом начинали поддерживать людей искусства.
learnopengl. Урок 1.7 — Трансформации
Теперь мы знаем как создавать объекты, раскрашивать их и накладывать на них текстуры, но они все еще довольно скучны, поскольку являются статическими объектами. Мы можем попробовать заставить их двигаться изменяя координаты вершин для каждого кадра, но это довольно муторно и требует процессорных вычислений. Есть гораздо более удобный способ для совершения трансформаций над объектом — это применение матриц. Но это не значит, что мы сейчас будем разговаривать про кунг фу и искусственный цифровой мир.
Часть 2. Базовое освещение
Часть 3. Загрузка 3D-моделей
Часть 4. Продвинутые возможности OpenGL
Часть 5. Продвинутое освещение
Матрицы — это очень мощные математические конструкции, которые поначалу пугают, но стоит к ним привыкнуть и они сразу станут крайне полезными. Во время обсуждения матриц требуется также немного углубиться в математику. Также для более склонных к математике читателей я оставлю ссылки на дополнительные ресурсы по этой теме.
Как бы то ни было, для полного понимания трансформаций мы, во первых, должны разобраться с векторами. Основная задача этой главы — дать вам основные математические знания, которые нам понадобятся позже.
Вектора
В самом простом определении, вектора — это не более чем направления. У вектора может быть направление и магнитуда (также иногда называется модулем или длиной). Вы можете представлять себе вектора в качестве направлений на карте сокровищ: “Сделайте 10 шагов налево, теперь 3 шага на север и теперь 5 шагов направо”. В данном примере “налево” — это направление, а “10 шагов” — это длина вектора. Направления на этой карте сокровищ составляются из 3 векторов. Вектора могут иметь любую размерность, но чаще всего используются двухкомпонентные и четырехкомпонентные вектора. Если вектор двухкомпонентный, то он описывает направление на плоскости (или на 2D графике), если вектор трехкомпонентный, то он описывает направление в трехмерном мире.
Ниже вы можете видеть 3 вектора, каждый из которых представлен в виде (x, y) в качестве стрелок на 2D графике. Поскольку более интуитивно представлять вектора в 2D (чем в 3D), то вы можете думать о 2D векторах, как о 3D векторах, но с нулевой z координатой. До тех пор, пока вектор описывает направление — позиция вектора не меняет его значения. На графике можно увидеть, что вектора v и w одинаковы, хотя из позиции отличаются:
Когда математики описывают вектора, они предпочитают использовать символы нижнего регистра с небольшой черточкой сверху. Пример:
Поскольку вектора зачастую описывают направление — то иногда их тяжело представить в виде позиции. Обычно мы визуализируем вектор следующим образом: мы устанавливаем центр в (0, 0, 0), а затем указываем направление, описанное точкой. Таким образом получается позиционный вектор (также мы можем взять за центр другую точку, а потом сказать “Этот вектор указывает на точку в пространстве из этой точки”). Позиционный вектор (3, 5) будет указывать на точку (3, 5) на графе с основанием (0, 0). С помощью векторов мы можем описывать как направления так и позиции в двухмерном и трехмерном пространствах.
Также мы можем производить над векторами некоторые математические действия.
Скалярные векторные операции
Скаляр — это одно число (или однокомпонентный вектор, если вы хотите продолжать работать с векторами). Во время сложения/вычитания/умножения или деления вектора на скаляр мы просто складываем/вычитаем/умножаем или делим каждый элемент вектора на этот скаляр. Пример:
Где вместо сложения может быть вычитание, умножение или деление.
Обратный вектор
Сложение и вычитание
Сложение двух векторов производится покомпонентно. Пример:
Визуально сумма векторов v=(4,2) и k=(1,2) выглядит так:
Также как и с обычным сложением и вычитанием, вычитание векторов — это тоже сложение, но с обратным вторым вектором:
Вычитание векторов друг из друга порождают вектор, который является разницей в позициях операндов:
Длина
Для получения длины (модуля) вектора мы используем теорему Пифагора, которые вы, возможно, помните со школы. Вектор образует треугольник, если представить его компоненты в качестве сторон треугольника:
Поскольку длина сторон (x, y) известна, и мы хотим узнать длину гипотенузы — то мы делаем это следующим образом:
Где ||v|| — это длина вектора v. Такая формула легко расширяется в 3D добалением z^2. Пример расчета длины:
Вычисленное значение: 4.47
Также существует специальный вид векторов, называемый единичными векторами. Особенность таких векторов в том, что их длина всегда равна 1. Мы можем преобразовать любой вектор в единичный делением этого вектора на его длину:
Такой вектор называется нормализованным. Единичные векторы обозначаются с небольшой крышей над буквой. С ними, также, проще работать, поскольку нам приходится заботиться только о направлении такого вектора.
Умножение вектора на вектор
Умножение двух векторов выполняется довольно странно. Нормальное умножение не применимо, поскольку оно не имеет визуального смысла, но у нас есть 2 специфических подхода, из которых можно выбирать во время умножения: первый — скалярное произведение, которое изображается как точка, а второе — векторное произведение, которое изображается как крест.
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов эквивалентно скалярному произведению длин этих векторов, умноженное на косинус угла между ними. Если это предложение сбило вас с толку, то посмотрите на формулу:
Где угол между векторами описан как тета. Почему это может быть интересно? Что же, представим если вектора v и k являются единичными векторами. Соответственно формула сокращается до:
Теперь скалярное произведение определяет только угол между двумя векторами. Вы возможно помните, что функция cos становится 0, с углом в 90 градусов ну и 1 с углом 0. Это позволяет легко проверять ортогональны ли вектора или параллельны друг другу (ортогональность означает, что вектора прямоугольны). Если хотите узнать больше про sin или cosine, то рекомендую видео Khan Academy про базовую тригонометрию.
Вы также можете вычислить угол между двумя неединичными векторами, но для этого вам придется разделить результат на длины этих векторов, чтобы остаться только с cos.
Так как же считать скалярное произведение? Скалярное произведение — это умножение компонентов векторов и последующее сложение результатов. Пример:
Для вычисления угла между векторами нам потребуется обратить функцию косинуса (cos^-1) в данном случае — это 143.1 градуса. Таким образом мы эффективно вычислили угол между этими двумя векторами. Скалярное произведение очень полезно во время работы со светом.
Векторное произведение
Векторное произведение возможно только в трехмерном пространстве и принимает на вход два непараллельных вектора, а возвращает вектор, который ортогонален входным. Если входные вектора ортогональны друг другу, то векторное произведение создаст 3 ортогональных вектора. Далее вы узнаете, почему это может быть полезно. Следующее изображение показывает как это выглядит трехмерном пространстве:
В отличии от других операций, векторное произведение не очень интуитивно без углубления в линейную алгебру, так что лучше просто запомнить формулу. Ниже представлено векторное произведение между двумя ортогональными векторами A и B.
Как вы можете видеть, в этой формуле не очень много смысла. В любом случае после всех этих шагов вы получите вектор, который будет ортогонален входным.
Матрицы
Теперь, после того как мы обсудили почти все на счет векторов, настало время углубиться в матрицы. Матрица, обычно, это четырехугольних из набора чисел, символов и/или выражений. Вот пример матрицы 2х3:
Доступ к элементам матрицы осуществляется с помощью (i,j), где i — это строка, а j — это столбец. Вот почему матрица выше называется 2х3 (3 столбца и 2 строки). Такая система — обратна той, что используется в 2D графах (x, y). Для получения значения 4 из матрицы выше, мы должны указать индекс (2, 1) (вторая строка, первый столбец).
Матрицы, по факту, ничего более чем четырехугольные массивы математических выражений. Они также обладают очень приятным набором математических свойств и, также как и вектора, имеют несколько операций — сложение, вычитание и умножение.
Сложение и вычитание
Сложение матрицы со скаляром выполняется следующим образом:
Скаляр просто прибавляется во всем элементам матрицы. Тоже самое происходит и при вычитании:
Сложение и вычитание между двумя матрицами выполняется поэлементно. Таким образом операции сложения и вычитания могут быть применены только к матрицам одинакового размера. Пример:
Тоже самое, только с вычитанием:
Умножение матрицы на скаляр
Также как сложение и вычитание, умножение матрицы на скаляр производится умножением каждого элемента матрицы на скаляр. Пример:
Умножение матриц
Умножение матриц не очень сложное, но и не такое простое. Умножение имеет несколько ограничений:
Вот пример умножения двух матриц 2х2:
Сейчас, возможно вы пытаетесь понять, что же тут вообще происходит? Умножение матриц — это комбинация из нормального умножения и сложения с использованием строк левой матрицы со столбцами правой матрицы. Следующее изображение должно внести немного ясности:
В начале мы берем верхнюю строку левой матрицы и левый столбец правой матрицы. Выбранные нами строка и столбец определяет то, какой элемент результирующей матрицы мы собираемся рассчитать. Если бы мы взяли первую строку левой матрицы, то мы собираемся работать с верхней строкой результирующей матрицы, затем мы выбираем столбец в правой матрице, он определяет то, с каким столбцом результирующей матрицы мы работаем. Для вычисления нижнего-правого элемента мы должны выбрать нижнюю строку левой матрицы и правый столбец правой матрицы.
Для вычисления результирующего значения мы перемножаем элементы строки и столбца с помощью обычного умножения. Результаты умножения затем складываются и мы получаем результат. Вот оттуда и идет первое ограничение.
В результате получается матрица размером (n, m), где n — количество строк в левой матрице, а m — количество столбцов в правой матрице.
Если у вас возникла проблема — то не волнуйтесь. Просто продолжайте вычислять руками и возвращайтесь к этому уроку, когда возникают сложности. Вскоре умножение матриц будет на автомате.
Давайте закроем вопрос умножения матриц одним большим примером. Для представления алгоритма использованы цвета. Для тренировки попробуйте сами посчитать результат, а затем сравнить с результатом в примере.
Как вы можете видеть умножение матриц довольно муторный процесс с большим количеством мест, где можно ошибиться. И эти проблемы лишь растут при увеличении размеров. Если вы все еще жаждите больше математических свойств матриц я крайне рекомендую видео Khan Academy.
Умножение матрицы на вектор
Мы уже использовали вектора в прошлых уроках. Мы использовали их, чтобы представлять позиции, цвета и текстурные координаты. Теперь давайте немного углубимся в кроличью нору и расскажем, что вектор — это на самом деле просто Nx1 матрица, где N — это количество компонентов вектора. Если вы чуть подумаете об этом — это имеет смысл. Вектора, прямо как матрицы — массив чисел, но только с 1 колонкой. И как же нам поможет эта информация? Что же, если у нас есть матрица MxN мы сможем ее умножить на Nx1 вектор, так как количество столбцов матрицы равно количеству строк вектора.
Но зачем нам вообще уметь умножать матрицу на вектор? Довольно много различных 3D/2D трансформаций можно выполнить, умножая матрицу на вектор, получая измененный вектор. Если вы все еще не уверены в том, что полностью понимаете текст выше, то вот немного примеров:
Единичная матрица
В OpenGL обычно работают с матрицами трансформации размерами 4х4 по той причине, что большинство векторов имеет 4 компонента. Самая простая матрица трансформации которую можно обсудить — это единичная матрица. Единичная матрица — это NxN матрица, заполненная нулями, но с 1 по диагонали. Как мы можете заметить эта матрица совершенно не изменяет вектор:
Вектор выглядит нетронутым. Это становится очевидно из правил умножения: первый результирующий элемент — это каждый элемент первой строки матрицы, умноженные на каждый элемент вектора. Поскольку каждый элемент строки равен 0, кроме первого — то мы получаем 1 * 1 + 0 * 2 + 0 * 3 + 0 * 4 = 1. Тоже самое применяется и к остальным 3 элементам вектора.
Вы можете спросить, зачем вообще может понадобится матрица трансформации, которая ничего не трансформирует? Единичная матрица зачастую является отправной точкой для генерации других матриц трансформации и если мы углубимся в линейную алгебру, это также очень удобная матрица для доказательства теорем и решения линейных уравнений.
Матрица масштабирования
Когда мы масштабируем вектор — мы увеличиваем длину стрелки на величину масштабирования, сохраняя направление. Пока мы работаем в 2 или 3 размерностях мы можем определить масштабирование вектором из 2 или 3 величин, каждая из которых масштабирует одну из осей (x, y или z).
Давайте попробуем масштабировать вектор v = (3,2). Мы будем масштабировать вектор по оси x на 0.5, что сделает его в 2 раза уже; и масштабируем вектор по оси y на 2, что увеличит высоту в 2 раза. Давайте посмотрим как будет выглядеть если мы масштабируем вектор на (0.5, 2). Запишем результат в виде s.
Помните, что OpenGL зачастую работает в 3D пространстве, соответственно для 2D можно оставить Z координату, равную 1. Операция масштабирования, которую мы только что выполнили, является неоднородной, поскольку величина масштабирования для каждой оси различается. Если бы величина масштабирования была бы одинаковой — то такое преобразование называется однородным.
Давайте построим матрицу трансформации которая выполнит для нас масштабирование. Мы уже увидели на единичной матрице, что диагональный элемент будет умножен на соответствующий элемент вектора. Что если мы заменим единицы в единичной матрице на тройки? В таком случае мы умножим все элементы вектора на это значение. Соответственно если мы представим величины масштабирования как (S1, S2, S3) то мы сможем определить матрицу масштабирования для любого вектора (x, y, z):
Заметьте, что 4 элемент вектора равняется 1. Этот компонент обозначается как w и будет потом использован для других задач.
Матрица сдвига
Сдвиг — это процесс добавления одного вектора к другому для получения нового вектора с другой позицией, то-есть сдвиг вектора на основании вектора сдвига. Мы уже обсуждали сложение векторов, поэтому для вас это не будет чем-то новым.
Также как и с матрицей масштабирования в матрице 4х4 есть несколько позиций для выполнения требуемых операций, для сдвига — это верхние 3 элемента четвертой колонки. Если мы представим вектор сдвига как (Tx, Ty, Tz) — то мы можем определить матрицу сдвига следующим образом:
Это работает, потому что все значения вектора умножаются на w компонент вектора и складываются с начальным значениями. Это было бы невозможно при использовании матриц 3х3.
Гомогенные координаты
Компонента вектора w также называется гомогенной координатой. Для получения 3D вектора из гомогенной координаты мы делим x, y и z координаты на w. Обычно этого не замечают, так как w большую часть времени равна 1.0. Использование гомогенных координат имеет несколько преимуществ: они позволяют нам выполнять сдвиги на 3D векторах (без w компоненты это было бы невозможно) и в следующей главе мы используем значение w для создания 3D визуализаций.
Также когда гомогенная координата равна 0 — то вектор считается вектором направления, так как вектор с компонентой w равной 0 не может быть сдвинут.
С матрицей сдвига мы можем двигать объекты по всем 3 направлениям (x, y, z), что делает эту матрицу крайне полезной для наших задач.
Матрица вращения
Последние пару трансформаций были довольно просты для понимания и представления в 2D или 3D пространстве, но вращения немного более заковыристые. Если вы хотите узнать как же именно эти матрицы формируются — то я рекомендую видео Khan Academy про линейную алгебру.
Для начала давайте определим что вообще такое — вращение вектора. Вращение в 2D и 3D определяется углом. Угол может выражаться в углах или в радианах, в которых полный оборот — это 360 градусов или 2Pi соответственно. Я предпочитаю работать с градусами, поскольку они более логичны для меня.
Большинство вращательных функций требует угол в радианах, но благо преобразование из одной системы в другую выполнить довольно просто:
Градусы = радианы * (180.0f / PI)
Радианы = градусы * (PI / 180.0f)
Где PI примерно 3.14159265359
Вращение на половину круга — требует от нас вращения на 360/2 = 180 градусов. Вращение на 1/5 направо требует от нас вращение на 360/5 = 72 градуса направо. Вот пример обычного 2D вектора, где v повернут на 72 градуса направо от k.
Вращение в 3D описывается углом и осью вращения. Угол определяет то насколько вектор будет повернут относительно данной оси. При вращении 2D векторов в 3D мире, к примеру, мы установим ось вращения — Z.
С помощью тригонометрии мы можем преобразовывать вектора в повернутые на определенный угол. Обычно это делается хитрой комбинацией sin и cos функций. Обсуждение того, как генерируется матрицы трансформации — выходит за пределы нашего урока.
Матрица вращения определена для каждой оси в 3D пространстве, где угол показан как тета.
Матрица вращения вокруг оси X:
Матрица вращения вокруг оси Y:
Матрица вращения вокруг оси Z:
С помощью матриц вращения мы можем вращать наши вектора по одной из трех осей. Также можно совмещать их, например в начале повернуть по X оси, а потом по Y. Правда такой подход быстро приведет к проблеме, называемый проблемой шарнирного замка (Gimbal Lock). Мы не будем вдаваться в детали, но лучше использовать вращение по конкретной оси, например (0.662, 0.2, 0.722) (заметьте, что это единичный вектор), вместо того, чтобы совмещать вращения по конкретным осям. Матрица для таких преобразований существует и выглядит она следующим образом, где (Rx, Ry, Rz) — это ось вращения:
Математические обсуждения на счет генерации такой матрицы выходят за рамки этого урока. Просто держите в голове, что даже такая матрица не решает проблему шарнирного замка полность (ее просто сложнее получить). Для того, чтобы полностью решить эту проблему нам придется работать с вращениями с помощью кватернионов, которые не просто безопаснее, но еще и гораздо дружелюбнее с точки зрения вычислений. Как бы то ни было обсуждение кватернионов отведено в более поздний урок.
Комбинирование матриц
Для того, чтобы достичь максимальной полезности использования матриц для трансформаций мы должны комбинировать матрицы трансформации в одну матрицу. Давайте посмотрим, сможем ли мы сгенерировать матрицу трансформации, которая будет в себя включать несколько трансформаций. Например у нас есть вектор (x, y, z) и мы хотим масштабировать его в 2 раза и сдвинуть на (1, 2, 3). Для этого нам потребуются матрицы масштабирования и смещения. В результате мы получим что-то вроде:
Заметьте, что во время умножения матриц мы в начале выполняем сдвиг, а потом масштабирование. Умножение матриц не коммутативно, что означает, что порядок умножения важен. Во время умножения матриц правая матрица умножается на вектор, поэтому вам надо читать умножения справа налево. Рекомендуется в начале масштабировать, затем вращать и в конце сдвигать, во время объединения матриц, в ином случае они могут отрицать друг-друга. Например если вы в начале выполните сдвиг, а затем масштабирование, то матрица сдвига тоже будет масштабировать!
В итоге матрица трансформации применяется следующим образом:
Отлично, вектор масштабирован в 2 раза и смещен на (1, 2, 3).
На практике
После того, как мы обсудили всю теорию настало время применять ее на практике. OpenGL не имеет встроенной поддержки матричных или векторных преобразований, поэтому нам придется использовать собственные математические класса и функции. В этих уроках мы абстрагируемся от тонких математических деталей и просто используем готовые математические библиотеки. К счастью уже есть простая в использовании и заточенная под OpenGL математическая библиотека, под названием GLM.
GLM это аббревиатура от OpenGL Mathematics. Эта библиотека является заголовочной, что означает, что нам достаточно подключить требуемые заголовочные файлы. Не нужно заморачиваться ни с линковкой ни с компиляцией. GLM можно скачать с официального сайта. Скопируйте корневую директорию с заголовочными файлами в вашу папку includes и можно начинать.
Большая часть функциональности GLM можно найти в 3 заголовочных файлах:
Давайте посмотрим, сможем ли мы применить наши знания в преобразованиях для сдвига вектора (1, 0, 0) на (1, 1, 0) (заметьте, что мы обозначили из как glm::vec4 с гомогенной координатой равной 1.0):
В начале мы создали вектор названный vec с помощью встроенного в GLM векторного класса. Затем мы определяем mat4, которая является единичной матрицей 4х4. Затем мы создаем матрицу трансформации, передавая нашу единичную матрицу в функцию glm::translate, вместе с вектором сдвига.
Затем мы умножаем наш вектор на матрицу трансформации и выводим результат. Если вы все еще помните как работает матрица сдвига — то вы понимаете, что результирующий вектор должен быть (1+1, 0+1, 0+0), который равен (2, 1, 0). Код выше выводит 210, что означает, что матрица сдвига сделала свою работу.
Давайте попробуем сделать нечто более интересное и попробуем масштабировать, а затем повернуть объект из прошлого урока. В начале мы повернем контейнер на 90 градусов против часовой стрелки. Затем масштабируем его на 0.5 для того, чтобы уменьшить его в 2 раза. Давайте построим матрицу трансформации для этого.
В начале мы уменьшаем контейнер на 0.5, по каждой оси, а затем поворачиваем контейнер на 90 градусов по Z координате. Заметьте, что текстура также повернулась. Поскольку мы передаем матрицу в каждую из GLM функций, GLM автоматически перемножает матрицы, в результате получая матрицу трансформации.
Некоторые версии GLM принимают углы в радианах, а не в градусах. Если у вас такая версия — то преобразуйте градусы в радианы с помощью glm::radians(90.0f).
Следующий большой вопрос — это как передать матрицу трансформации в шейдер? Ранее мы уже говорили, что GLSL имеет тип mat4. Так что нам осталось принять mat4 в качестве uniform переменной и умножить вектор позиции на эту матрицу.
В GLSL также имеются типы mat2 и mat3, которые предоставляют такие же операции, что и вектора. Все затронутые в этой статье операции доступны в матричных типах.
Мы добавили uniform и умножили позиционный вектор на трансформационную матрицу перед тем как передать ее в gl_Position. Наш контейнер теперь должен стать меньше в 2 раза и повернуться на 90 градусов. Но нам все еще надо передать трансформационную матрицу в шейдер?
В начале мы получаем позицию uniform переменной и затем отправляем в нее данные матрицы с помощью функции glUniform с постфиксом Matrix4fv. Первый аргумент должен быть позицией переменной. Второй аргумент сообщает OpenGL сколько матриц мы собираемся отправлять, в нашем случае 1. Третий аргумент говорит требуется ли транспонировать матрицу. OpenGL разработчики часто используют внутренних матричный формат, называемый column-major ordering, который используется в GLM по умолчанию, поэтому нам не требуется транспонировать матрицы, мы можем оставить GL_FALSE. Последний параметр — это, собственно, данные, но GLM не хранит данные точно так как OpenGL хочет их видеть, поэтому мы преобразовываем их с помощью value_ptr.
Мы создали матрицу трансформации, объявили uniform в вершинном шейдере, и отправили матрицу в шейдере с помощью которой мы корректируем вершинные координаты. В результате должно получиться что-то вроде этого:
Отлично! Наш контейнер действительно повернут налево и стал в 2 раза меньше, так что трансформация прошла успешно. А теперь давайте заставим вращаться наш контейнер в реальном времени, а также передвинем его в нижний правый угол. Для того, чтобы это сделать придется производить вычисления при каждой итерации основного цикла. Мы используем функцию GLFW для получения времени, чтобы менять угол со временем:
Держите в голове, что раньше мы могли объявить матрицу трансформации где угодно, но теперь мы создаем ее при каждой итерации, чтобы мы могли обновлять вращение на каждый кадр. Это значит, что мы должны пересоздавать матрицу трансформации на каждой итерации игрового цикла. Обычно, когда на сцене несколько объектов, то их матрицы трансформации пересоздаются с новыми значениями при каждой итерации отрисовки.
Теперь мы вращаем объект вокруг центра (0, 0, 0), а после этого сдвигаем повернутую версию в нижний-правый угол экрана. Помните, что реальная последовательность применения трансформаций читается в обратном порядке: даже в коде мы в начале сдвигаем, а потом поворачиваем, то трансформации применяются в обратном порядке, в начале поворот, затем сдвиг. Понимание всех этих трансформаций и того как они влияют на объекты довольно затруднительно. Попробуйте поэкспериментировать с трансформациями и вы быстро с ними свыкнитесь.
Если вы все сделали правильно — то вы получите что-то вроде этого:
Вот и все. Сдвинутый контейнер, поворачивающийся с течением времени, и все это выполнено с помощью одной матрицы трансформации! Теперь вы можете видеть, почему матрицы настолько сильны в графическом мире. Мы можем определить безграничное количество трансформаций и совмещать их в одну матрицу для последующего повторного использования. Использование подобных трансформаций в вершинном шейдере позволяет нам не менять вершинные данные, что сохраняет нам процессорное время, поскольку нам не требуется отправлять данные в буфер.
Если вам не удалось получить правильный результат или вы где-то застряли — то взгляните на исходный код вместе с вершинным и фрагментным шейдерами.
В следующем уроке мы обсудим как использовать матрицы для определения различных координатных пространств для наших вершин. Это будет новым шагом в мир 3D графики в реальном времени!